提要：A、E、I、O四式语句的对待关系及其条件/A、E、I、O四式语句对待关系的验证

　　一阵雷雨过后，王蕴理和周文璞到吴先生家里来。

　　“今天下暴雨，蜉蝣很多，飞到满屋子里都是的，真讨厌！……如果‘一切蜉蝣是短命的’这个语句为真，那么什么语句是假的？”他们坐下了，吴先生想了一想，问王蕴理。

　　“……不……不知道。”王蕴理答不出来。

　　“也许，……我的问法有点笼统。”吴先生笑道，“我的意思是问：在A、E、I与O四型之中，如果有一个语句是真的，那么与之对待的什么语句是假的。在A、E、I、O四式之中，任一语句之真或假与其余三个语句之真或假，或真假不定的情形，传统地叫作语句的‘对待’（opposition）。在这种对待关系里，我们从A、E、I、O四型语句中任一之真假的设定开始，可以推论其余语句之真，或假，或真假不定。复次，我们任取AO或EI，为矛盾，那么我们可以推论其余语句有何对待关系。这种推论相当有用，而且我们在日常言谈之间时常可以碰见。所以，我们现在要加以讨论。为求易于明了起见，我们现在还是画一个图。这个图，传统地叫作‘对待方形’（square of opposition）。不过，我们现在关于对待的讲法不是传统的讲法，我们现在的讲法是对于传统讲法的一种修正。这是必须声明的。”

　　吴先生在纸上画着：

　　“我们现在要将这里的符号和名词解释一下。A!表示有存在意含的A,E!亦然。我们之所以要标明A和E有存在意含，是因为在我们日常言谈之间大都肯定A、E在主位的词端之所指存在，即有实际存在的事物。”

　　“吴先生！这样说来，还有在主位的词端之所指不是实际存在的事物吗？”王蕴理问。

　　“当然有！”

　　“您可以举个例吗？”王蕴理又问。

　　“例如，‘一切希腊的神是拟人的’，或‘一切希腊的神是有人的缺点的’。在这两个A型语句中的主位词端‘神’之所指，并非一实际存在的事物。我们用逻辑名词说，‘神’并无存在意含（existential import）。可是，偏谓语句的主位词端，都有存在意含。显然得很，只有具有存在意含的全谓语句才蕴涵着与之相当的偏谓语句；不具存在意含的全谓语句当然不蕴涵与之相当的偏谓语句。更特指地说，如果A有存在意含，那么蕴涵I，否则不能。如果E有存在意含，那么蕴涵O，否则不能。但是，A型语句并非都有存在意含，E型亦然。总而言之，全谓语句并非都有存在意含。全谓语句有些有存在意含，有些没有。例如刚才举的两个例子就没有。但是，‘一切挪威人是欧洲人’‘一切毒蛇是危险的’，其中主位词端之所指都是实际的事物，所以有存在意含。全谓语句既然不是在一切情形之下都有存在意含，所以也就不是在一切情形之下涵蕴偏谓语句。既然如此，必须全谓语句确有存在意含，才蕴涵与之相当的偏谓语句。然后再行逻辑的推论。……当然，在日常语言中，没有这么严格，因而也就没有分得这么清楚，可是，我们在逻辑科学中，就必须严格而清楚。我们明白了这一层，也就可以知道，中文里的‘所有的……’并不必然表示真正‘有’。例如，‘所有的飞虎是两栖动物’，事实上并没有飞虎，所谓‘飞虎’无存在意含，因而并无‘有’。严格地说，在这种情况之下用‘所有的……’系一语病，可是，在我们明白了它并无存在意含之后，我们知道它不能蕴涵I型语句‘有些飞虎是两栖动物’，那也就不足为害了。”

　　他歇了一会儿，指着纸上的图解，继续说道：“双箭头表示在其两端的语句之关系是对称的。所谓‘反对’（contrariety），它的条件是：假定有甲乙二个语句，如果甲真则乙假，如果甲假则乙不定；而且如果乙真则甲假，如果乙假则甲不定，那么甲乙二种语句之间的关系为反对的对待关系。所谓‘等差’（subalternation），它的条件是：假定有全谓与偏谓两种语句，如果全谓语句真，则与之相当的偏谓语句真；如果全谓语句假，则与之相当的偏谓语句之真假不定；而且如果偏谓语句真，则与之相当的全谓语句真假不定；如果偏谓语句假，则与之相当的全谓语句假；那么全谓语句及与之相当的偏谓语句之间的关系为等差的对待关系。所谓‘独立’（independence），它的条件是：假定有甲乙二个语句，如果甲真则乙真假不定；如果甲假则乙真假不定；如果乙真则甲真假不定；如果乙假则甲真假不定；那么甲与乙之间的关系为独立的对待关系。

　　“吴先生可不可以将这三种关系作进一步的解释？”王蕴理问。

　　“是的，我正预备这样。我并且预备借着举例来讨论四型语句之间的对待关系。我们先从A!开始吧！如A!真，则E!假，则I真，则O假。如A!假，则E!真假不定，则I真假不定，则O真假不定。如果‘一切蜉蝣是短命的’为真，则‘有些蜉蝣是短命的’亦真，但是‘没有蜉蝣是短命的’一定假，因而‘有些蜉蝣不是短命的’亦假。如果‘一切蜉蝣是短命的’是假的呢？那么，‘有些蜉蝣是短命的’真假不定，‘没有蜉蝣是短命的’真假不定，因而‘有些蜉蝣不是短命的’也是真假不定。”

　　“吴先生，就这个例子讲，恐怕不好说。因为，就我们之所知，没有蜉蝣不是短命的，亦即所有的蜉蝣是短命的。苏东坡有句：‘寄蜉蝣于天地，渺苍海之一粟。’言人命如蜉蝣之短也。”周文璞说。

　　“不错，……可是你说的又是一个特殊的经验问题。请你注意，我们所讨论的，始终一贯地是语句的形式，而不是语句的内容。A!、E!、I、O所代表的是四种语句形式，而不是具有其中之任何形式的特殊语句。因此，所谓语句的对待关系，不是具有其中任一形式的特殊语句与具有其中另一形式的特殊语句之间的特殊对待关系，而是四式之中之任一与其余三式之间的普遍的对待关系。既然所谓对待关系是普遍的对待关系，于是我们制定规律时，必须观照一般的情形，而不可局限于一二特例。就上例说，假若我们说‘一切蜉蝣是短命的’是一句假话，则‘没有蜉蝣是短命的’亦假，但是，另外的例子则不然。如果‘一切冰淇淋是热的’为假，那么‘没有冰淇淋是热的’为真。前者‘一切蜉蝣是短命的’（的对待语句）E!假，而后者的对待语句‘没有冰淇淋是热的’E!真。形式地总括起来：如A!假则E!真假不定。

　　“由以上的解析，各位可知A!和E!之真假对待关系乃指具有这二种形式的一切语句而言的，并非指某一特殊语句而言的。严格地说，仅就一个特殊语句而言，根本就无所谓对待关系，也许有因果关系，也许有函数关系，也许有其他的关系，逻辑贵妥当。所谓妥当也者，就是在一切情形之下为真，或者对于一切解释皆有效，或说能涵盖或顾到一切情形。我们之所以举例，完全是为便于理解起见。在我们研究逻辑时一听例子，我们应须立即由之而理解借此例子所显示的普遍之逻辑形式，不应该将思路局限于那一特例，或者转到纯形式以外的问题上去，或者扯到经验例证之本身。这是最重要的逻辑训练。”

　　“吴先生，您不注重经验吗？”周文璞问。

　　“不。”吴先生连忙摇头：“我非常注重经验。我是说在研究逻辑时必须远离经验，以免拖泥带水，混淆不清。如其不然，一个人抽象的推论力一定永远不能增加。一个人初学数学或算术时，算‘三个桃子加五个桃子等于八个桃子’固然需要扳着指甲数，可是，这只限于初学阶段而已。你试设想，如果一个人，永远需要扳着指甲数，而且离开桃子李子这些实物就无法了解纯数理，不知运用X、Y、Z这样的变量，他的数学还有希望好吗？他还能够懂得‘无穷大’‘无穷小’等等吗？逻辑的情形完全一样。近九十余年来，逻辑家和数学家的努力，证明逻辑和数学是姊妹学问了，所以，研究数学时所需要的心理习惯，研究逻辑时也常需要。不然的话，我们很容易把逻辑弄成玄学。”

　　“是！是！”周文璞点点头。

　　“我们进行E!吧！”吴先生抽口烟，“如E!真则A!假、则I假、则O真。如E!假，则A!真假不定、则I不定、则O不定。例如，如果‘没有海洋是陆地’为真，那么‘一切海洋是陆地’为假，‘有些海洋是陆地’也假，‘有些海洋不是陆地’为真。如果‘没有钻石是珍贵的’为假，那么‘一切钻石是珍贵的’为真。但是，如果‘没有学生是用功的’为假，那么‘所有的学生是用功的’也假。‘没有钻石是珍贵的’和‘没有学生是用功的’这二个E!语句都假。可是与第一语句对待的语句‘一切钻石是珍贵的’为真，而与第二语句对待的语句‘所有学生是用功的’是假的。这二个语句都是A!。由此可见E!假时，A!之真假不定；如E!假则I与O之真假不定，其理由是显然易见的。E!与I为反对。所谓反对，就是两个语句虽不可同真，但可同假。既然如此，于是E!真时I固然一定假，但E!假时I可能是假的，也可能是真的。E!与O的对待关系为等差，即是，如E!真则O真，但如E!假时，O可真可假。所以，E!假则O不定。至于例子，只要我们留心日常的言谈，几于俯拾即是，各位不妨自己举举试试看。由举例既然可能理解到逻辑，所以也是一种不无帮助的训练。

　　“I与O之间的对待关系是独立。所谓独立，我们已经在前面说过，乃任一之真或假不牵扯到另一之真或假。既然如此，于是I与O可同真，可同假，也可以一真而另一为假，可以一假而另一为真。我们先从I起吧！如果‘有些人是善良的’为真，那么‘有些人不是善良的’也真。在日常言谈中，我们多是肯定语句之所指存在的。既然肯定语句之所指存在，于是语句之所指存在乃这一语句之为真的必须条件。既然如此，如果语句之所指不存在，于是这一语句不能是真的，如果‘有些人是神仙’是假的，那么‘有些人不是神仙’也是假的。既然肯定没有神仙，于是说有些人是神仙固然是假的，说有些人不是神仙当然也是假的，因为，根本就没有神仙这个东西存在。

　　“O到I，对待情形还是一样，如果‘有些事业家不是爱钱的’为真，那么‘有些事业家是爱钱的’也真。如果‘有些江湖奇侠不是三头六臂的’为假，那么，‘有些江湖奇侠是三头六臂的’还是假的。可是，如果‘有些军阀不是爱地盘的’为假，那么‘有些军阀是爱地盘的’为真。可是O真时，I可真可假，O假时I也可真可假。既然如此，可见O与I之间的对待关系是独立的对待关系，这也就是说，由I或O之任一之真或假，推论不出另一之真或假。”吴先生说完，慢慢吸着烟。看样子，他的烟质地很粗劣。他抽这种烟，不过是为过瘾而已，并不感到什么兴趣。

　　“吴先生，您怎么不抽点好烟？”周文璞问。

　　“好烟？……”他脸上浮起一阵淡淡的苦笑。

　　“吴先生，您刚才说I与O二式语句是独立的，既然二者是独立的，那么就是互不相倚的意思，是不是？”王蕴理问。

　　“是的。”

　　“既然二者互不相倚，怎么可以说是有对待关系呢？”王蕴理进一步地问。

　　“独立的对待关系？是对待关系中之一limiting case，即限制情形，亦若零为盖然probability之limiting case然。科学中常有这种限制情形。当然，如果单独将I与O提出来看，可以说是没有什么对待关系的，可是A!、E!、I、O四式形成一套关系，I与O不过是这一套关系中之最薄弱的一面而已。”吴先生说完，又抽着粗劣的烟。

　　“吴先生，您在开始的时候说，关于对待关系，您现在所讲的是传统的讲法之修正。传统的讲法是怎样的？说得通吗？”王蕴理问。

　　“如果假定在主位的词端有存在意含，也说得通。就近人的解析，对待关系可以至少有三种说法。我们在上面所讨论的，是其中的一种；传统的说法，也可以看作其中的一种，而且这一种在教科书中仍占重要地位。”

　　“既然如此，吴先生可不可以讲给我们听？”王蕴理又问。

　　“可以的。不过，我们以后的讲法，只直陈其逻辑结构，而不举例，因为，我们不再需要了，而且凡与前面雷同的地方，也略而不谈。”

　　吴先生又画了一个对待方形：

　　“二位请留意，在这个对待方形所表示的对待关系中，有两种对待关系与上面的对待方形所表示的不同，即I与O之间为小反对（subcontrary）；AO、EI各为矛盾（contradictory）。I与O之间的对待关系既为小反对，于是，为了标别起见，我们把A与E之间的关系改称为‘大反对’，但是其界说条件不变。还有一点，我们也需留意的，即在这一传统的对待方形中，全谓语句的存在意含只是假定的，未曾明指。所以，我们没有用A!和E!来表示，而只径直用A、E来表示。”

　　“什么是小反对的对待关系呢？”周文璞问。

　　“小反对的对待关系之界说是：I与O二个语句，如果可以同真，但不能同假，则二者之间的关系叫作小反对。依此，I与O既可以同真，那么由其中之一为真，我们不能断定另一究竟为真抑为假。因为，其中之一为真时，另一可以为真，也可以为假，究竟为真抑为假，这要视个别特例而定。例如，‘有些人是素食的’，I为真时，‘有些人不是素食的’，O也真。但是，‘有些人是生物’为真，‘有些人不是生物’则为假。然而，I与O不能同假。‘有些北极熊是热带动物’为假，‘有些北极熊不是热带动物’不能为假。……当然，我们在日常语言中，不会说‘有些北极熊不是热带动物’这样的话，假若有人这样说话，许多人一定笑他是呆子。不过，我们不要忘记，许多人之笑说这种话的人是呆子，这是从习惯出发的。习惯并非真理的标准，科学之可贵，常在其结论出乎常识的局限以外。在逻辑上，‘有些’之所指有时可以是‘一切’，因此，‘有些北极熊不是热带动物’，实在等于说‘一切北极熊不是热带动物’。我们这么一想，就觉得没有什么不自然了。这样设句，正所以表示科学设句能到达常识与习惯所不能到达的境地。……复次，从纯逻辑的理由，我们更可以显然知道IO不能同假，但能同真。‘有些’所指的范围有时既可以普及于‘一切’，因此只要一部分的S是P，而有一部分S不是P，则I与O可以同真。如果‘有些’所指的范围普及于‘一切’，即一切S是P，那么，I与O之中总有一为真。这么一来，二者不能同假。关于这种情形用图解可以表示得很清楚。”老教授又画着：

　　“从这三个图解，我们可明明白白看出，I与O之间的真假有三种情形：一、I真而O假；二、O真而I假；三、I、O俱真。但是，没有I、O俱假的可能。二位明白了吧？”

　　“明白了！”周文璞说。

　　“这种证明方法，比举例严格牢靠多了。”王蕴理说。

　　“是啰！”老教授很高兴，“这话就算叩击科学方法的边沿了……我们现在再来谈谈什么叫作矛盾。假若我们说‘一切欧洲人是基督教徒’，那么这个语句的矛盾语句是不是‘没有欧洲人是基督教徒’？”

　　“是！”周文璞说。

　　“非也！非也！”老教授摇摇头，“许多人以为‘一切欧洲人是基督教徒’的矛盾语句是‘没有欧洲人是基督教徒’，这是错误的。其所以是错误的，从逻辑的形式一看便知。‘一切欧洲人是基督教徒’是A型语句，‘没有欧洲人是基督教徒’是E型语句。依前面所说，AE是互相反对的语句，而不是互相矛盾的语句。”

　　“吴先生！什么才是互相矛盾的语句呢？”周文璞接着问。

　　“‘一切欧洲人是基督教徒’的矛盾语句是‘有些欧洲人不是基督教徒’。‘有些欧洲人不是基督教徒’是O型语句。依刚才所画的对待方形，我们可知AO为互相矛盾的语句。EI亦然。……形式地说，设有甲、乙两个语句，如果甲为真，则乙为假；如果甲为假，则乙为真。同样，如果乙为真，则甲为假；如果乙为假，则甲为真。甲乙之间的这种关系，叫作矛盾关系。这样看来，甲乙不同真，亦不同假。既然如此，由其中之一为真，可以推断另一为假；由其中之一为假，可以推断另一为真。……矛盾与反对的分别，弄清楚了吧？”

　　“弄清楚了。”周文璞说。

　　“弄清楚了，我们可以再进一步以严格的方法来演证A、E、I与O之间的对待关系。我们可以假定AO与EI各为矛盾，来证明其余任一种对待关系。刚才画的一个对待方形可以看作四个三角形之并合，每一个三角形可在矛盾的那一边反复各一次，所以，四乘二共得八次。而A、E、I、O中每个语句又有真假二值，或正负两面，于是，二乘八得一十六次。这样，就穷尽了该图所示的一切对待关系之演证。我们现在就开始吧！”老教授不惮其烦地画着、写着：

　　兹设EI为矛盾，IA为等差。

　　试证EA为大反对。

　　证：

　　合①与②，依界说，EA为大反对。

　　“吴先生！这些公式我们看不懂。”周文璞着急起来。

　　“别忙！别忙！说穿了比什么都简单。”老教授笑道，“第一条，E字头上挂的小十字架‘+’表示‘真’；‘?’符号表示‘如果……，则——’；一点‘·’表示‘而且’；I字头上挂的一个小横扁‘–’，表示‘假’。两边有两个小点儿的符号，即‘·?·’，比两边没有小点儿的符号‘?’等级高一层。第一条，用寻常括弧表示出来就是这样的。”他写着：

　　“所以，第一条用寻常语言读出，就是：‘如果E为真则I为假，而且如果I为假则A为假，那么，如果E为真则A为假’。你看！这是多么累赘，而且层次多么不显著！”老教授吸了一口长气，“可是，用像第一条那样的符号方式表明，就简明轻松得多了，是不是？咱们用象形字用惯了，一看见符号就认为繁难，望而却步，这真是一个大大的误解！我们会读第一条，便会读第二条，不用赘述。不过，在第二条中，‘？’代表‘真假不定’。……我们刚才是从EI出发，经过IA，证明EA为大反对。我们现在从IE出发，经过EA，求证IA为等差。”

　　兹设IE为矛盾，EA为大反对，

　　求证IA为等差。

　　证：

　　合①与②依界说，AI为等差。

　　“我们再证下去。好吧？”

　　“好的！”王蕴理似乎很有兴趣。

　　兹设EI为矛盾，IO为小反对，

　　求证EO为等差。

　　证：

　　合①与②，依界说，OE为等差。

　　兹设IE为矛盾，EO为等差，

　　求证IO为小反对。

　　证：

　　合①与②，依界说，OI为小反对。

　　兹设AO为矛盾，OI为小反对，

　　求证AI为等差。

　　证：

　　合①与②，依界说，AI为等差。

　　兹设OA为矛盾，AI为等差，

　　求证OI为小反对。

　　证：

　　合①与②，依界说，OI为小反对。

　　兹设AO为矛盾，OE为等差，

　　试证AE为大反对

　　证：

　　合①与②，依界说，AO为大反对。

　　“还有一个没有证。我已经证得太多了，剩下的一个留给二位试试，这样也可以得到一点逻辑训练。二位觉得这样演证起来，太麻烦吗？”

　　“不，不，我们觉得这是一种很好的思考训练，可以使我们领会到谨严的思考方式是怎么回事。”周文璞说。

　　“对了，这样才会入逻辑之门，而且会发生兴趣的。”吴先生很高兴。

　　“吴先生，您的演证除了每一次系从一对矛盾语句之一的正反两面着手以外，好像都是循着一种推论方式进行的。是不是的？”王蕴理问。

　　“是的，如果将A、E、I、O撇开，并且不计其正负，而把证明的语句各别地代以a、b、c，那么我们就可以把这些证明依之而进行的推论方式写成这个样子。是不是？”

　　a ? b·b ? c·?·a ? c

　　“是的，我想的正是这个意思，不过我表示不清楚，谢谢您的帮助……这种推论方式叫作什么呢？”他又思索着。

　　“这种是三段式的推论方式。”

　　“您以后有机会可以把这种推论方式讲讲吗？”

　　“三段式的推论方式很重要，有机会也是要研究研究的。”